Relationship Between Logistic Loss and Cross Entropy Loss

Logistic Loss 和 Cross Entropy Loss 是 Binary Classification 中常用的 loss function。以 $\b{x}$ 表示样本，$f = \b{wx} + b$，$p = \frac{1}{1 + exp(-f)}$

• Logistic Loss

  $$LL(s, f) = \log(1 + \exp(-s f))$$

  其中 $s$ 表示 true label，$s \in \{1, -1\}$

• Cross Entropy Loss

  $$CE(y, p) = -y\log(p) - (1-y)\log(1 - p)$$

  $y$ 和 $p$ 表示 $\b{x}$ 属于类别 $1$ 的概率，$1-y$ 和 $1-p$ 表示属于 $-1$ 的概率

上面两个 loss function 表面看上去差异很大，其实二者在 $y = 1$ 和 $y = 0$ 的情况下是等价的

• 当 $y = 1$ 时

  $$\begin{align*} CE(1, p) = & -\log(p) = -\log\frac{1}{1 + exp(-f)} \\\\ = & \log(1 + exp(-f)) = LL(1, f) \end{align*}$$

• 当 $y = 0$ 时

  $$\begin{align*} CE(0, p) = & -\log(1-p) = -\log\frac{exp(-f)}{1 + exp(-f)} \\\\ = & -\log\frac{1}{1 + exp(f)} = \log(1 + exp(f)) \\\\ = & LL(-1, f) \end{align*}$$

在大多数任务中，$y$ 的取值就是 $0$ 或 $1$，对于这些任务，Logistic Loss 和 Cross Entropy Loss 是完全等价的